คณิตศาสตร์เชิงทดลอง: พลังการคำนวณนำไปสู่ข้อมูลเชิงลึก

ในบทความของพวกเขาเรื่อง "Exploratory Experimentation and Computation" ซึ่งจะปรากฏใน Notices of the American Mathematical Society ฉบับเดือนพฤศจิกายน 2011 David H. Bailey และ Jonathan M. Borwein อธิบายว่าเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ได้ขยายความสามารถของเราอย่างมากในการค้นพบผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ใหม่ๆ . "ด้วยการคำนวณนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ให้มีความแม่นยำสูงมาก คอมพิวเตอร์สามารถค้นพบความสัมพันธ์และสูตรที่คาดไม่ถึง" เบลีย์กล่าว คณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ของรูปแบบ ความเข้าใจผิดที่พบบ่อยคืองานของนักคณิตศาสตร์ประกอบด้วยการคำนวณทั้งหมด หากเป็นเช่นนั้นจริง คอมพิวเตอร์คงเข้ามาแทนที่นักคณิตศาสตร์ไปนานแล้ว สิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทำจริงๆ คือการค้นหาและสำรวจรูปแบบต่างๆ รูปแบบที่เกิดขึ้นเป็นตัวเลข รูปทรงนามธรรม ในการแปลงระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์ต่างๆ เป็นต้น การศึกษารูปแบบดังกล่าวจำเป็นต้องใช้เครื่องมือที่ละเอียดอ่อนและซับซ้อน และจนถึงขณะนี้ คอมพิวเตอร์เป็นเครื่องมือที่ทื่อเกินไปหรือไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะนำไปใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ได้มากนัก แต่ในขณะเดียวกัน สาขาวิชาคณิตศาสตร์ก็เติบโตและลึกซึ้งยิ่งขึ้น จนในปัจจุบัน คำถามบางข้อดูเหมือนจะต้องการความสามารถเพิ่มเติมนอกเหนือจากสมองของมนุษย์ "มีความเห็นเป็นเอกฉันท์มากขึ้นเรื่อยๆ ว่าโดยพื้นฐานแล้วจิตใจของมนุษย์ไม่เก่งคณิตศาสตร์มากนัก และต้องได้รับการฝึกฝน" เบลีย์กล่าว "จากข้อเท็จจริงนี้ คอมพิวเตอร์จึงถูกมองว่าเป็นส่วนเสริมที่สมบูรณ์แบบสำหรับมนุษย์ - เราสามารถหยั่งรู้ได้ แต่คำนวณหรือควบคุมไม่ได้อย่างน่าเชื่อถือ คอมพิวเตอร์ยังไม่เก่งมากในด้านสัญชาตญาณ แต่เก่งด้านการคำนวณและการจัดการ" แม้ว่าคณิตศาสตร์จะได้รับการกล่าวขานว่าเป็น "วิทยาศาสตร์นิรนัย" แต่นักคณิตศาสตร์มักจะใช้การสำรวจเสมอ ไม่ว่าจะผ่านการคำนวณหรือรูปภาพ เพื่อทดสอบความคิดและรับสัญชาตญาณ ในลักษณะเดียวกับที่นักวิจัยในวิทยาศาสตร์อุปนัยทำการทดลอง ปัจจุบันนี้ คณิตศาสตร์อุปนัยได้เติบโตขึ้นจากการใช้คอมพิวเตอร์ ซึ่งได้เพิ่มจำนวนและประเภทของการสำรวจที่สามารถทำได้เพิ่มขึ้นอย่างมาก แน่นอนว่าคอมพิวเตอร์ถูกใช้เพื่อแบ่งเบาภาระของการคำนวณที่ยาวนาน แต่ก็ยังใช้เพื่อแสดงภาพวัตถุทางคณิตศาสตร์ ค้นพบความสัมพันธ์ใหม่ระหว่างวัตถุดังกล่าว และทดสอบ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งการปลอมแปลง) การคาดเดา นักคณิตศาสตร์อาจใช้คอมพิวเตอร์เพื่อสำรวจผลลัพธ์เพื่อดูว่าคุ้มค่าที่จะลองพิสูจน์หรือไม่ ถ้ามันเป็น, จากนั้นบางครั้งคอมพิวเตอร์สามารถให้คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีดำเนินการพิสูจน์ได้ Bailey และ Borwein ใช้คำว่า "คณิตศาสตร์ทดลอง" เพื่ออธิบายการใช้คอมพิวเตอร์ประเภทนี้ในวิชา คณิตศาสตร์ สำรวจ Prime Numbers ผ่านคอมพิวเตอร์ บทความของพวกเขาให้ตัวอย่างคณิตศาสตร์เชิงทดลองหลายตัวอย่าง การคำนวณเลขของไพที่กล่าวมาข้างต้นก็เป็นหนึ่งในนั้น อีกตัวอย่างหนึ่งมาจากการสำรวจปัญหาทางคณิตศาสตร์ด้วยคอมพิวเตอร์ที่เรียกว่า Giuga's Conjecture การคาดเดานี้เสนอว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ เราสามารถตรวจสอบได้อย่างแน่ชัดว่า n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่โดยการคำนวณผลบวกจำนวนหนึ่งซึ่ง n ปรากฏในเลขยกกำลังของผลบวก ผลรวมนั้นจะมีค่าจำนวนหนึ่ง เรียกว่า S ถ้า n เป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น ระบุไว้แตกต่างกันผลรวมนั้นจะไม่มีค่า S ก็ต่อเมื่อ n ประกอบกัน แม้ว่าการคาดคะเนจะมีขึ้นในปี 1950 แต่ก็ไม่เคยได้รับการพิสูจน์และดูเหมือนจะอยู่ห่างไกลจากวิธีการทางคณิตศาสตร์ทั่วไป อย่างไรก็ตาม Bailey และ Borwein พร้อมด้วยผู้ทำงานร่วมกันสามารถใช้คอมพิวเตอร์เพื่อแสดงให้เห็นว่าจำนวนใดๆ ที่เป็นข้อยกเว้นของการคาดคะเนของ Giuga ต้องมีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันมากกว่า 3,678 ตัวและมีความยาวทศนิยมมากกว่า 17,168 หลัก นั่นคือ จำนวนประกอบใดๆ ที่สั้นกว่าไม่สามารถทำให้เกิดค่า S ได้ สิ่งนี้ไม่ได้พิสูจน์ว่าการคาดเดาของ Giuga เป็นจริง แต่เป็นหลักฐานที่น่าสนใจที่สนับสนุนความจริงของการคาดเดา หลักฐานเชิงประจักษ์ประเภทนี้บางครั้งเป็นเพียงสิ่งที่จำเป็นในการสร้างความมั่นใจเพียงพอสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่จะอุทิศพลังงานเพื่อค้นหาหลักฐานที่สมบูรณ์ หากไม่มีความมั่นใจเช่นนั้น แรงบันดาลใจในการผลักดันไปสู่การพิสูจน์อาจไม่มีอยู่ที่นั่น ผลกระทบต่อการศึกษา นอกเหนือจากการอภิปรายเกี่ยวกับการใช้คอมพิวเตอร์ในวิชาคณิตศาสตร์ที่ทันสมัยแล้ว บทความยังกล่าวถึงความจำเป็นในการปรับปรุงรูปแบบการศึกษาคณิตศาสตร์เพื่อให้นักเรียนมีเครื่องมือทดลองทางคณิตศาสตร์ Borwein กล่าวว่า "นักเรียนในปัจจุบันดำเนินชีวิตในโลกที่เต็มไปด้วยข้อมูลและขาดการตัดสิน เช่นเดียวกับเราในโลกที่อุดมด้วยข้อมูลข่าวสารและเครื่องมือต่างๆ "เราจึงต้องสอนเรื่องวิจารณญาณ (ไม่ใช่แค่เรื่องของการลอกเลียนแบบ) เมื่อพูดถึงการใช้สิ่งที่เป็นไปได้ทางดิจิทัลอยู่แล้ว นอกจากนี้ ฉันคิดว่าสำคัญอย่างยิ่งที่เราจะต้องเชื่อมโยงการออกแบบซอฟต์แวร์ของเรา -- และรูปแบบการสอนของเราโดยทั่วไปมากขึ้น -- กับของเรา ความเข้าใจที่เพิ่มขึ้นเกี่ยวกับจุดแข็งและข้อจำกัดทางปัญญาของเราในฐานะสปีชีส์หนึ่ง"